Существование обратной матрицы. Обратная матрица

Невырожденной матрицей называется квадратная матрица n-го порядка, определитель которой отличен от нуля. В противном случае матрица называется вырожденной .

Теорема (единственности существования обратной матрицы): Если у матрицы существует обратная матрица , то она единственна.

Доказательство.

Пусть существует матрица , для которой и матрица , для которой .

Тогда , то есть . Умножим обе части равенства на матрицу , получим , где и .

Значит, , что и требовалось доказать.

12. Матричные уравнения, их решение с помощью обратной матрицы.

Матричные уравнения могут иметь вид:

АХ = В, ХА = В, АХВ = С,

где А,В,С - задаваемые матрицы, Х- искомая матрица.

Матричные уравнения решаются с помощью умножения уравнения на обратные матрицы.

Например, чтобы найти матрицу из уравнения , необходимо умножить это уравнение на слева.

Следовательно, чтобы найти решение уравнения , нужно найти обратную матрицу и умножить ее на матрицу , стоящие в правой части уравнения.

13. Квадратные системы линейных уравнений. Правило Крамера.

Система m линейных уравнений с n неизвестными (или, линейная система) в линейной алгебре - это система уравнений вида

Метод Крамера (правило Крамера) - способ решения квадратных систем линейных алгебраических уравнений с ненулевым определителем основной матрицы (причём для таких уравнений решение существует и единственно). Назван по имени Габриэля Крамера (1704–1752), придумавшего метод.

Для системы n линейных уравнений с n неизвестными (над произвольным полем)

с определителем матрицы системы Δ, отличным от нуля, решение записывается в виде

(i-ый столбец матрицы системы заменяется столбцом свободных членов).

В другой форме правило Крамера формулируется так: для любых коэффициентов c 1 , c 2 , …, c n справедливо равенство:

Система линейных уравнений:

Матрица, обратная для данной.

Не всякая матрица имеет обратную.

Теорема 1 . Простейшие свойства обратной матрицы.

1°. Всякая матрица может иметь не более одной обратной.

2°. E –1 = E .

3°. (A –1) –1 = A .

4°. (AB ) –1 = B –1 A –1 .

Вырожденные и невырожденные квадратные матрицы.

Теорема 2 . Критерий обратимости матрицы.

Матрица обратима тогда и только тогда, когда она невырожденная.

Лемма 1 . Всякое строчечное (столбцовое) элементарное преобразование матрицы можно реализовать путём умножения этой матрицы слева (справа) на соответствующую элементарную матрицу.

Лемма 2 . Для того чтобы матрица была невырожденной, необходимо и достаточно, чтобы её можно было привести к единичной матрице с помощью только строчечных элементарных преобразований.

Лемма 3 . Если строки (столбцы) матрицы A (B ) линейно зависимы и C = AB , то точно такая же линейная зависимость выполняется для строк (столбцов) матрицы С .

Практический способ вычисления обратной матрицы:

A |E ... E |A –1 .

Матричные уравнения.

Запись СЛУ в виде одного матричного уравнения специального вида. Терема Крамера в матричной форме.

Перестановки и подстановки

Перестановки. Запись перестановки. Число перестановок n элементов. Инверсии. Чётные и нечётные перестановки. Транспозиции.

Теорема . Свойства транспозиций.

1°. От любой перестановки можно перейти к любой другой перестановке с помощью нескольких транспозиций.

2°. Всякая транспозиция изменяет чётность перестановки.

Подстановки. S n . Запись подстановок. Чётность подстановки. Корректность определения чётности подстановки. Знак подстановки. (–1) s (p) .

Определение определителя

Определение определителя.

Примеры вычисления определителей матриц второго и третьего порядков, определителя верхней (нижней) треугольной матрицы, определителя матрицы, у которой все элементы ниже (выше) побочной диагонали равны нулю.

Свойства определителя

Теорема . Свойства определителя.

1°. det t A = detA .

2°.det = det + det .

3°. det = l×det .

4°. det = –det .

5°. Если одна из строк матрицы нулевая, то определитель матрицы равен нулю.

6°. Если какие-либо две строки матрицы равны, то определитель матрицы равен нулю.

7°. Если какие-либо две строки матрицы пропорциональны, то определитель матрицы равен нулю.

8°. Если одну из строк матрицы умножить на число и прибавить к другой строке, то определитель не изменится.

9°. Определитель вырожденной матрицы равен нулю.

10°. Определитель невырожденной матрицы отличен от нуля.

Примечание . Свойства 1°–4° доказываются по определению, остальные свойства выводятся с помощью свойств 1°–4°.

Следствие 1 . Критерий невырожденности матрицы.

Квадратная матрица является невырожденной тогда и только тогда, когда её определитель отличен от нуля.

Следствие 2 . Однородная система линейных уравнений, состоящая из n уравнений с n неизвестными, имеет ненулевые решения тогда и только тогда, когда определитель матрицы системы равен нулю.

Миноры и алгебраические дополнения. Разложение определителя по строке и по столбцу

Минор M ij квадратной матрицы. Алгебраическое дополнение A ij элемента a ij квадратной матрицы.

Теорема о разложении.

det A = a k 1 A k 1 +a k 2 A k 2 + ... +a kn A kn , det A = a 1k A 1k +a 2k A 2k + ... +a nk A nk

для любых k =

Этапы доказательства

1. Для матрицы, в которой A n = e n , по определению det.

2. Для матрицы, в которой A i = e j , путём сведения к случаю 1, учётом знака A i и неизменности M ij .

3. Общий случай путём представления A i в виде суммы n векторов и сведения к случаю 2.

Ещё одно свойство определителя

11°. a k 1 A p 1 +a k 2 A p 2 + ... +a kn A pn , a 1 k A 1 p +a 2 k A 2 p + ... +a nk A np , если k ¹ p .

4.1 ОБРАТНАЯ МАТРИЦА И РАНГ МАТРИЦЫ

Квадратная матрица А порядка n называется невырожденной (или неособенной ), если det A ≠ 0. В противном случае матрица А – вырожденная (или особенная ). Матрица A является обратной для квадратной невырожденной матрицы А , если A A AA E , где E ‑ единичная матрица порядка n :

Теорема 4.1. (необходимое и достаточное условие существования обратной матрицы). Обратная матрица A существует тогда и только тогда, когда исходная матрица А невырожденная .

Доказательство . Необходимость . Пусть матрица А имеет обратную A , т. е. A A AA E . По свойству 10 определителей имеем D (A A ) = D (A ) D (А ) D (E ) = 1 и, следовательно, D (А ) 0.

Достаточность . Пусть D (А ) 0. Рассмотрим квадратную матрицу n -го порядка , называемую присоединенной . Ее элементами служат алгебраические дополнения элементов матрицы , транспонированной к матрице А :

Легко показать, что

Отсюда следует, что если в качестве обратной матрицы взять матрицу A , то произведения A A и AA равны единичной матрице E n -го порядка: A A AA E .

Рангом матрицы А (обозначается rang А или r (A )) является наибольший порядок порожденных ею миноров (определителей), отличных от нуля. Всякий отличный от нуля минор матрицы, порядок которого равен ее рангу, называется ее базисным минором . Строки и столбцы, участвующие в образовании базисного минора, также будут базисными. Матрица может иметь несколько базисных миноров, однако все их порядки одинаковы и равны рангу матрицы.

Ранг матрицы не изменится, если:

1) строки и столбцы матрицы поменять местами;

2) переставить местами два любых ее столбца (строки);

3) удалить из нее столбец (строку), все элементы которого равны нулю;

4) удалить из нее столбец (строку), являющийся линейной комбинацией остальных ее столбцов (строк);

5) умножить ее произвольный столбец (строку) на любое отличное от нуля число;

6) к любому ее столбцу (строке) прибавить произвольную линейную комбинацию остальных столбцов (строк) этой матрицы.

Преобразования 2) ‑ 6) называются элементарными . Две матрицы являются эквивалентными , если одна получается из другой с помощью элементарных преобразований и обозначается как А ~В .

Для рангов матриц справедливы следующие соотношения:

1) r (A + В ) r (A ) + r (B ),

Обратная матрица · Матрица B называется обратной к матрице , если справедливо равенство: . Обозначение : − Только квадратная матрица может иметь обратную матрицу. − Не всякая квадратная матрица имеет обратную матрицу. Свойства: 1. ; 2. ; 3. , где матрицы −квадратные, одинаковой размерности. Вообще говоря, если для не квадратных матриц возможно произведение , которое будет являться квадратной матрицей, то возможно существование и обратной матрицы , хотя 3-свойство при этом нарушается. Для нахождения обратной матрицы можно использовать метод элементарных преобразований строк: 1. Составляют расширенную матрицу, приписывая справа от исходной матрицы единичную матрицу соответствующей размерности:

. 2. Элементарными преобразованиями строк матрицу Г приводят к виду: .

− искомая Ранг матрицы · Минором k-ого порядка матрицы называется определитель, составленный из элементов исходной матрицы, стоящих на пересечении любых k строк и k столбцов ( ). Замечание . Каждый элемент матрицы является ее минором 1-го порядка. Теорема. Если в матрице все миноры k-ого порядка равны нулю, то равны нулю все миноры большего порядка. Разложим минор (определитель) (k+1 )-ого порядка через элементы 1-ой строки: . Алгебраические дополнения по сути являются минорами k- ого порядка, которые по условию теоремы равны нулю. Следовательно, . · В матрице порядка минор порядка называется базисным, если он не равен нулю, а все миноры порядка и выше равны нулю, или не существуют вовсе, т.е. совпадает с меньшим из чисел или . Столбцы и строки матрицы, из которых стоит базисный минор, называются базисными. В матрице может быть несколько различных базисных миноров, имеющих одинаковый порядок. · Порядок базисного минора матрицы называется рангом матрицы и обозначается: , . Очевидно, что . Например . 1.

, . 2.

. Матрица В содержит единственный ненулевой элемент являющийся минором 1-го порядка. Все определители более высоких порядков будут содержать 0-ю строку и поэтому равны 0. Следовательно, . обратная матрица 4. Системы линейных уравнений. Основные понятия. Система линейных алгебраических уравнений (линейная система , также употребляются аббревиатуры СЛАУ , СЛУ ) - система уравнений, каждое уравнение в котором является линейным - алгебраическим уравнением первой степени. Общий вид системы линейных алгебраических уравнений:

Здесь - количество уравнений, а - количество переменных, - неизвестные, которые надо определить, коэффициенты и свободные члены

предполагаются известными. Система называется однородной , если все её свободные члены равны нулю (), иначе - неоднородной . Решение системы линейных алгебраических уравнений - совокупность чисел , таких что из соответствующая подстановка вместо в систему обращает все её уравнения в тождества. Система называется совместной, если она имеет хотя бы одно решение, и несовместной, если у неё нет ни одного решения. Решения считаются различными, если хотя бы одно из значений переменных не совпадает. Совместная система с единственным решением называется определённой, при наличии более одного решения - недоопределённой. Матричная форма Система линейных алгебраических уравнений может быть представлена в матричной форме как:

или: . Здесь - это матрица системы, - столбец неизвестных, а - столбец свободных членов. Если к матрице приписать справа столбец свободных членов, то получившаяся матрица называется расширенной. Теорема Кронекера - Капелли Теорема Кронекера - Капелли устанавливает необходимое и достаточное условие совместности системы линейных алгебраических уравнений посредством свойств матричных представлений: система совместна тогда и только тогда, когда ранг её матрицы совпадает с рангом расширенной матрицы. Методы решения систем линейных уравнений. Матричный метод Пусть дана система линейных уравнений с неизвестными (над произвольным полем):

Перепишем в матричной форме:

Решение системы найдем по формуле Обратную матрицу найдем по формуле: , где – транспонированная матрица алгебраических дополнений соответствующих элементов матрицы . Если, то обратной матрицы не существует, и решить систему матричным методом невозможно. В этом случае система решается методом Гаусса. Метод Крамера Ме́тод Крамера (правило Крамера) - способ решения СЛАУ с числом уравнений равным числу неизвестных с ненулевым главным определителем матрицы. Для системы линейных уравнений с неизвестными

Заменяем i-тый столбец матрицы столбцом свободных членов b Пример: Система линейных уравнений с вещественными коэффициентами:

Определители:

В определителях столбец коэффициентов при соответствующей неизвестной заменяется столбцом свободных членов системы. Решение: 5. Метод Гаусса Алгоритм решения: 1. Запишем расширенную матрицу 2. Приведем к ступенчатому виду путем элементарных преобразований 3. Обратный ход, в ходе которого выражаем базисные члены через свободные. Расширенная матрица получается путем добавления к матрице столбца свободных членов. Существуют следующие элементарные преобразования: 1. Строки матрицы можно переставлять местами. 2. Если в матрице есть (или появились) пропорциональные (как частный случай – одинаковые) строки, то следует удалить из матрицы все эти строки кроме одной. 3. Если в матрице в ходе преобразований появилась нулевая строка, то ее также следует удалить. 4. Строку матрицы можно умножить (разделить)на любое число, отличное от нуля . 5. К строке матрицы можно прибавить другую строку, умноженную на число, отличное от нуля. Элементарные преобразования не меняют решение системы уравнений Обратный ход: Обычно в качестве базисных переменных берут те переменные, которые расположены на первых местах в ненулевых строках преобразованной матрицы системы, т.е. на "ступеньках". Далее выражаются базисные члены через свободные. Идем “снизу в вверх” попутно выражая базисные члены и подставляя результаты в вышестоящее уравнение. Пример: Базисные переменные всегда «сидят» строго на ступеньках матрицы. В данном примере базисными переменными являются и Свободные переменные – это все оставшиеся переменные, которым не досталось ступеньки. В нашем случае их две: – свободные переменные. Теперь нужно все базисные переменные выразить только через свободные переменные . Обратный ход алгоритма Гаусса традиционно работает снизу вв

Для каждого числа а¹0 существует обратное число а -1 такое, что произведение а×а -1 =1 . Для квадратных матриц вводится аналогичное понятие.

Определение. Если существуют квадратные матрицы Х и А одного порядка, удовлетворяющие условию:

где Е — единичная матрица того же самого порядка, что и матрица А, то матрица Х называется обратной к матрице А и обозначается А -1 .

Из определения следует, что только квадратная матрица имеет обратную; в этом случае и обратная матрица является квадратной того же порядка.

Однако, не каждая квадратная матрица имеет обратную. Если условие а¹0 является необходимым и достаточным для существования числа а -1 , то для существования матрицы А -1 таким условием является требование DA¹0.

Определение. Квадратная матрица n -го порядка называется невырожденной (неособенной) , если ее определитель DA¹0.

Если же DA=0 , то матрица А называется вырожденной (особенной).

Теорема (необходимое и достаточное условие существования обратной матрицы). Если квадратная матрица неособенная (т.е. ее определитель не равен нулю), то для нее существует единственная обратная матрица.

Доказательство.

I. Необходимость. Пусть матрица А имеет обратную А -1 , т.е. АА -1 = А -1 А=Е. По свойству 3 определителей (§ 11) имеем D(АА -1)= D(А -1) D(А)= D(Е)=1, т.е. DA¹0 и DA -1 ¹0.

I I. Достаточность. Пусть квадратная матрица А неособенная, т.е. DA¹0 . Напишем транспонированную матрицу А Т:

В этой матрице каждый элемент заменим его алгебраическим дополнением, получим матрицу:

Матрица А * называется присоединенной матрицей к матрице А.

Найдем произведение АА * (и А * А):

Где диагональные элементы = DA,

DA.(формуле 11.1 §11 )

А все остальные недиагональные элементы матрицы АА * равны нулю по свойству 10 §11, например:

и т.д. Следовательно,

АА * = или АА * = DA= DA×Е.

Аналогично доказывается, что А * А = DA×Е.

Разделив оба полученных равенства на DA, получим: . Отсюда, по определению обратной матрицы, следует существование обратной матрицы

Т.к. АА -1 =А -1 А=Е .

Существование обратной матрицы доказано. Докажем единственность. Предположим, что существует еще другая обратная матрица F для матрицы А, тогда AF = E и FA = E. Умножив обе части первого равенства на А -1 слева, а второго на А -1 справа, получим: А -1 AF = А -1 E и FA А -1 = E А -1 , откуда EF = А -1 E и FE = E А -1 . Следовательно, F = А -1 . Единственность доказана.

Пример. Дана матрица А = , найти А -1 .

Алгоритм вычисления обратной матрицы:

Свойства обратных матриц.

1) (A -1) -1 = A;

2) (AB) -1 = B -1 A -1

3) (A T) -1 = (A -1) T .

⇐ Предыдущая78910111213141516Следующая ⇒

⇐ ПредыдущаяСтр 3 из 4Следующая ⇒

Рассмотрим матрицы

Причем элементы матриц А и В заданы, а Х 1 , Х 2 , Х 3 – неизвестные.

Тогда уравнение А × Х = В называется простейшим матричным уравнением .

Чтобы его решить, т.е. найти элементы матрицы неизвестных Х, поступим следующим образом:

1. Умножим обе части уравнения на матрицу А -1 , обратную для матрицы А, слева :

А -1 (А × Х) = А -1 × В

2. Используя свойство умножения матриц, запишем

(А -1 × А) Х = А -1 × В

3. Из определения обратной матрицы

(А -1 × А = Е) имеем Е × Х = А -1 × В.

4. Используя свойство единичной матрицы (Е × Х = Х), окончательно получим Х = А -1 × В

Замечание . Если матричное уравнение имеет вид Х × С = Д, то для нахождения неизвестной матрицы Х уравнение необходимо умножать на С -1 справа .

Пример . Решить матричное уравнение

Решение . Введем обозначения

Их определения умножения матриц с учетом размерностей А и В матрица неизвестных Х будет иметь вид

С учетом введенных обозначений имеем

А × Х = В откуда Х = А -1 × В

Найдем А -1 по алгоритму построения обратной матрицы

Вычислим произведение

Тогда для Х получим

Х = откуда х 1 = 3, х 2 = 2

Ранг матрицы

Рассмотрим матрицу А размера (m x n)

Минором к-ого порядка матрицы А будем называть определитель порядка к, элементами которого являются элементы матрицы А, стоящие на пересечении любых К строк и любых К столбцов. Очевидно, к £ min (m, n).

Определение . Рангом r(A) матрицы А называется наибольший порядок минора этой матрицы, отличного от нуля.

Определение. Всякий отличный от нуля минор матрицы, порядок которого равен ее рангу, называется базисным минором .

Определени е. Матрицы, имеющие одинаковые ранги, называются эквивалентными .

Вычисление ранга матрицы

Определение . Матрица называется ступенчатой , если под первым ненулевым элементом каждой ее строки стоят нули в нижележащих строках.

Теорема . Ранг ступенчатой матрицы равен числу ее ненулевых строк.

Таким образом, преобразуя матрицу к ступенчатому виду, несложно определить ее ранг. Эта операция осуществляется с помощью элементарных преобразований матрицы , которые не изменяют ее ранга:

— умножение всех элементов ряда матрицы на число l ¹ 0;

— замена строк столбцами и наоборот;

— перестановка местами параллельных рядов;

— вычеркивание нулевого ряда;

— прибавление к элементам некоторого ряда соответствующих элементов параллельного ряда, умноженных на любое действительное число.

Пример .

Теорема (необходимое и достаточное условие существования обратной матрицы).

Вычислить ранг матрицы

А =

Решение . Преобразуем матрицу к ступенчатому виду. Для этого к третьей строке прибавим вторую, умноженную на (-3).

А ~

К четвертой строке прибавим третью.

Число ненулевых строк в полученной эквивалентной матрице равно трем, следовательно r(А) = 3.

Системы n линейных уравнений с n неизвестными.

Методы их решения

Рассмотрим систему n линейных уравнений с n неизвестными.

А 11 х 1 + а 12 х 2 + … + а 1 n x n = b 1

а 21 х 1 + а 22 х 2 + … + а 2 n x n = b 2 (1)

……………………………….

а n 1 х 1 + а n 2 х 2 + … + а nn x n = b n

Определение: Решением системы (1) называется совокупность чисел (х 1 , х 2 , …, х n), которая обращает каждое уравнение системы в верное равенство.

Матрица А, составленная из коэффициентов при неизвестных, называется основной матрицей системы (1).

A =

Матрица В, состоящая из элементов матрицы А и столбца свободных членов системы (1), называется расширенной матрицей.

В =

Матричный метод

Рассмотрим матрицы

Х = — матрица неизвестных;

С = — матрица свободных членов системы (1).

Тогда по правилу умножения матриц систему (1) можно представить в виде матричного уравнения

А × Х = С (2)

Решение уравнения (2) изложено выше, то есть Х = А -1 × С, где А -1 – обратная матрица для основной матрицы системы (1).

Метод Крамера

Система n линейных уравнений с n неизвестными, главный определитель которой отличен от нуля, всегда имеет решение и притом единственное, которое находится по формулам:

где D = det А – определитель основной матрицы А системы (1), который называется главным, Dх i получаются из определителя D заменой i-ого столбца столбцом из свободных членов, т.е.

Dх 1 = ;

Dх 2 = ; … ;

Пример .

Решить систему уравнений методом Крамера

2х 1 + 3х 2 + 4х 3 = 15

х 1 + х 2 + 5х 3 = 16

3х 1 — 2х 2 + х 3 = 1

Решение .

Вычислим определитель основной матрицы системы

D = det A = = 44 ¹ 0

Вычислим вспомогательные определители

Dх 3 = = 132.

По формулам Крамера найдем неизвестные

; ; .

Таким образом, х 1 = 0; х 2 = 1; х 3 = 3.

Метод Гаусса

Суть метода Гаусса заключается в последовательном исключении неизвестных из уравнений системы, т.е. в приведении основной матрицы системы к треугольному виду, когда под ее главной диагональю стоят нули. Это достигается с помощью элементарных преобразований матрицы над строчками. В результате таких преобразований не нарушается равносильность системы и она приобретает также треугольный вид, т.е. последнее уравнение содержит одну неизвестную, предпоследнее две и т.д. Выражая из последнего уравнения n-ую неизвестную и с помощью обратного хода, используя ряд последовательных подстановок, получают значения всех неизвестных.

Пример . Решить систему уравнений методом Гаусса

3х 1 + 2х 2 + х 3 = 17

2х 1 — х 2 + 2х 3 = 8

х 1 + 4х 2 — 3х 3 = 9

Решение . Выпишем расширенную матрицу системы и приведем, содержащуюся в ней матрицу А к треугольному виду.

Поменяем местами первую и третью строки матрицы, что равносильно перестановке первого и третьего уравнений системы. Это позволит нам избежать появления дробных выражений при последующих вычислениях

В ~

Первую строку полученной матрицы умножим последовательно на (-2) и (-3) и сложим соответственно со второй и третьей строками, при этом В будет иметь вид:

После умножения второй строки на и сложения ее с третьей строкой матрица А примет треугольный вид. Однако чтобы упростить вычисления можно поступить следующим образом: умножим третью строку на (-1) и сложим со второй. Тогда получим:

В ~

Восстановим из полученной матрицы В систему уравнений, равносильную данной

Х 1 + 4х 2 — 3х 3 = 9

х 2 — 2х 3 = 0

— 10х 3 = -10

Из последнего уравнения находим Найденное значение х 3 = 1 подставим во второе уравнение системы, из которого х 2 = 2х 3 = 2 × 1 = 2.

После подстановки х 3 = 1 и х 2 = 2 в первое уравнение для х 1 получим х 1 = 9 — 4х 2 + 3х 3 = 9 — 4 × 2 + 3 × 1 = 4.

Итак, х 1 = 4, х 2 = 2, х 3 = 1.

Замечание. Для проверки правильности решения системы уравнений необходимо подставить найденные значения неизвестных в каждое из уравнений данной системы. При этом, если все уравнения обратятся в тождества, то система решена верно.

Проверка:

3 × 4 + 2 × 2 + 1 = 17 верно

2 × 4 — 2 + 2 × 1 = 8 верно

4 + 4 × 2 — 3 × 1 = 9 верно

Итак, система решена верно.

⇐ Предыдущая1234Следующая ⇒

Простейшие матричные уравнения

где – матрицы таких размеров, что все используемые операции возможны, а левые и правые части этих матричных уравнений представляют собой матрицы одинаковых размеров.

Решение уравнений (1)-(3) возможно с помощью обратных матриц в случае невырожденности матриц при Х. В общем случае матрицу Х записывают поэлементно и проводят указанные в уравнении действия над матрицами. В результате получают систему линейных уравнений. Решив систему, находят элементы матрицы Х.

Метод обратной матрицы

Это решение системы линейных уравнений в случае квадратной невырожденной матрицы системы А. Находится из матричного уравнения АХ=В.

А -1 (АХ)=А -1 В, (А -1 А)Х=А -1 В, ЕХ= А -1 В, Х= А -1 В.

Формулы Крамера

Теорема. Пусть Δ — определитель матрицы системы А, а Δ j — определитель матрицы, получаемый из матрицы А заменой j-го столбцом свободных членов. Тогда, если Δ≠ 0, то система имеет единственное решение, определяемое по формулам:

— формулы Крамера.

ДЗ 1. 2.23, 2.27, 2.51,2.55, 2.62; ДЗ 2.2.19, 2.26, 2.40,2.65

Тема 4. Комплексные числа и многочлены

Комплексные числа и действия над ними

Определения.

1. Символ вида a + bi , где a и b произвольные действительные числа, условимся называть комплексным числом.

2. Комплексные числа a + bi и a 1 + b 1 i условимся считать равными, если а = а 1 и

b = b 1 .

3. Комплексное число вида a + 0i условимся считать равным действительному числу а.

4. Суммой двух комплексных чисел a + bi и a 1 + b 1 i называется комплексное число (а + а 1) + (b + b 1)i.

Обратная матрица. Ранг матрицы.

Произведением двух комплексных чисел называется комплексное число aa 1 – bb 1 + (a b 1 +a 1 b)i.

Комплексное число вида 0 + bi называется чисто мнимым числом и обычно записывается так: bi ; число 0 +1i = i называется мнимой единицей .

В силу определения 3 всякому действительному числу а соответствует «равное» комплексное число a + 0i и обратно – всякому комплексному числу a + 0i соответствует «равное» действительное число а , то есть между этими числами существует взаимно-однозначное соответствие. Если рассмотреть сумму и произведение комплексных чисел a 1 + 0i и a 2 + 0i по правилам 4 и 5, то получим:

(a 1 + 0i) + (a 2 + 0i) = (a 1 + a 2) + 0i,

(a 1 + 0i) (a 2 + 0i) = (a 1 a 2 – 0) + (a 1 0+a 2 0) i = a 1 a 2 + 0i.

Мы видим, что сумме (или произведению) данных комплексных чисел соответствует действительное число, «равное» сумме (или произведению) соответствующих действительных чисел. Итак, соответствие между комплексными числами вида a + 0i и действительным числом а таково, что в результате выполнения арифметических действий над соответствующими компонентами получаются соответственные результаты. Взаимно-однозначное соответствие, которое сохраняется при выполнении действий, называется изоморфизмом. Это позволяет отождествить число a + 0i с действительным числом а и рассматривать всякое действительное число как частный случай комплексного.

Следствие . Квадрат числа i равен – 1.

i 2 = i i = (0 +1i)(0 +1i) = (0 – 1) + (0·1 + 1·0)i = — 1.

Теорема. Для сложения и умножения комплексных чисел остаются в силе основные законы действий.

Определения:

1. Действительное число а называется действительной частью комплексного числа z = a + bi. Rez=a

2. Число b называется мнимой частью комплексного числа z, число b — коэффициентом при мнимой части z. Imz=b.

3. Числа a + bi и a – bi называются сопряжёнными.

Число, сопряжённое числу z = a + bi обозначается символом

= a — bi.

Пример. z =3 + i , = 3 — i.

Теорема. Сумма и произведение двух сопряжённых комплексных чисел действительны.

Доказательство. Имеем

В множестве комплексных чисел выполнимы действия, обратные сложению и умножению.

Вычитание. Пусть z 1 = a 1 + b 1 i и z 2 = a 2 + b 2 i — данные комплексные числа. разность z 1 – z 2 есть число z = x + y i , удовлетворяющее условию z 1 = z 2 + z или

а 1 + b 1 i = (a 2 + x) + (b 2 + y)i.

Для определения x и y получаем систему уравнений a 2 + x = а 1 и b 2 + y = b 1 , имеющую единственное решение:

x = а 1 — a 2 , y = b 1 — b 2 ,

z = (а 1 + b 1 i) – (а 2 + b 2 i) = а 1 – а 2 +(b 1 — b 2)i.

Вычитание можно заменить сложением с числом, противоположным вычитаемому:

z = (а 1 + b 1 i) – (а 2 + b 2 i) = (а 1 + b 1 i) + (- а 2 — b 2 i).

Деление.

Частное чисел z 1 и z 2 ≠ 0 есть число z = x + y i , удовлетворяющее условию z 1 = z 2 z или

а 1 + b 1 i = (a 2 + b 2 i) (x + yi),

следовательно,

а 1 + b 1 i = a 2 x — b 2 y+ (b 2 x + a 2 y)i,

откуда получаем систему уравнений:

a 2 x — b 2 y = a 1 ,

b 2 x + a 2 y = b 1 .

Решением которой будут

следовательно,

Практически для нахождения частного умножают делимое и делитель на число , сопряжённое делителю:

Так, например,

В частности число , обратное данному числу z , можно представить в виде

Примечание. В множестве комплексных чисел остаётся в силе теорема: еслипроизведение равно нулю, то хотя бы один из сомножителей равен нулю.

В самом деле, если z 1 z 2 =0 и если z 1 ≠ 0, то умножая на , получим

что и требовалось доказать.

При выполнении арифметических действий над комплексными числами надлежит руководствоваться следующим общим правилом: действия выполняются по обычным правилам действий над алгебраическими выражениями с последующей заменой i 2 на -1.

Теорема. При замене каждого из компонентов сопряжённым ему числом результат действия тоже заменяется сопряжённым числом.

Доказательство заключается в непосредственной проверке. Так, например, если каждое слагаемое z 1 = a 1 + b 1 i и z 2 = a 2 + b 2 i заменить сопряжённым числом, то получим число, сопряжённое сумме z 1 + z 2 .

cледовательно,

Аналогично для произведения имеем:

Предыдущая567891011121314151617181920Следующая

ПОСМОТРЕТЬ ЕЩЕ:

Матричные уравнения

Каталин Дэвид

AX = B, где матрица A обратима

Поскольку умножение матриц не всегда коммутативно, умножаем слева обе части уравнения на$ A^{-1}$.

$A^{-1}\cdot|A\cdot X = B$

$A^{-1}\cdot A\cdot X = A^{-1}\cdot B$

$I_{n}\cdot X = A^{-1}\cdot B$

$\color{red}{X =A^{-1}\cdot B}$

Пример 50
Решить уравнение
$\begin{pmatrix} 1 & 3\\ 2 & 5 \end{pmatrix}\cdot X \begin{pmatrix} 3 & 5\\ 2 & 1 \end{pmatrix}$

Теорема 2. Критерий существования обратной матрицы.

Умножаем слева на обратную ей матрицу.
$\begin{pmatrix} 1 & 3\\ 2 & 5\\ \end{pmatrix}^{-1}\cdot \begin{pmatrix} 1 & 3\\ 2 & 5 \end{pmatrix}\cdot X= \begin{pmatrix} 1 & 3\\ 2 & 5 \end{pmatrix}^{-1}\cdot \begin{pmatrix} 3 & 5\\ 2 & 1 \end{pmatrix}$

$I_{2}\cdot X = \begin{pmatrix} 1 & 3\\ 2 & 5 \end{pmatrix}^{-1}\cdot \begin{pmatrix} 3 & 5\\ 2 & 1 \end{pmatrix}$

$X=\begin{pmatrix} 1 & 3\\ 2 & 5 \end{pmatrix}^{-1}\cdot \begin{pmatrix} 3 & 5\\ 2 & 1 \end{pmatrix}$

$\begin{pmatrix} 1 & 3\\ 2 & 5 \end{pmatrix}^{-1}= \begin{pmatrix} -5 & 3\\ 2 & -1 \end{pmatrix}\rightarrow X= \begin{pmatrix} -5 & 3\\ 2 & -1 \end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix} 3 & 5\\ 2 & 1 \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} -9 & -22\\ 4 & 9 \end{pmatrix}$

XA = B, где матрица A обратима

Поскольку умножение матриц не всегда коммутативно, умножаем справа обе части уравнения на$ A^{-1}$.

$X\cdot A = B |\cdot A^{-1}$

$X\cdot A\cdot A^{-1} = B\cdot A^{-1}$

$X \cdot I_{n} =B\cdot A^{-1}$

Решение уравнения имеет общий вид
$\color{red}{X =B\cdot A^{-1}}$

Пример 51
Решить уравнение
$X \begin{pmatrix} 1 & 3\\ 2 & 5\\ \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} 3 & 5\\ 2 & 1\\ \end{pmatrix}$

Убедимся, что первая матрица обратима.
$\left|A\right|=5-6=-1\neq 0$, следовательно, матрица обратима.

Умножаем справа на обратную ей матрицу.
$X \begin{pmatrix} 1 & 3\\ 2 & 5 \end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix} 1 & 3\\ 2 & 5 \end{pmatrix}^{-1}= \begin{pmatrix} 3 & 5\\ 2 & 1 \end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix} 1 & 3\\ 2 & 5 \end{pmatrix}^{-1}$

$X\cdot I_{2}= \begin{pmatrix} 3 & 5\\ 2 & 1 \end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix} 1 & 3\\ 2 & 5 \end{pmatrix}^{-1}$

$X=\begin{pmatrix} 3 & 5\\ 2 & 1 \end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix} 1 & 3\\ 2 & 5 \end{pmatrix}^{-1}$

$\begin{pmatrix} 1 & 3\\ 2 & 5 \end{pmatrix}^{-1}= \begin{pmatrix} -5 & 3\\ 2 & -1 \end{pmatrix}\rightarrow X= \begin{pmatrix} 3 & 5\\ 2 & 1 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} -5 & 3\\ 2 & -1 \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} -5 & 4\\ -8 & 5 \end{pmatrix}$

МатрицыУмножение матрицОпределителиРанг матрицыОбратные матрицыСистемы уравненийКалькуляторы для матриц

межд. изумления, удивления; радости, надежды; внезапности, испуга; горя, отчаяния. Ах, как хорошо! Ах кабы так! Ах, как ты меня испугал! Ах, да руками мах. Ах, ах, а пособить нечем. Ах, судья, судья: четыре полы, восемь карманов.

| Иногда ах обращается в сущ. , муж. Ахи, да охи, да бабьи вздохи. Что тут было ахов, удивления, радости. Ахти, ахти мне, восклицание горя, печали; увы; Ахти мне, все товарищи в тюрьме — что-то будет и мне? Охти-axmul как-то замуж идти? Не ахти мне, не на диво, не больно хорошо. Аханьки мне, ахаханьки, выражает как бы сострадание к самому себе, либо к другому. Аханьки, как детки махоньки, это род привета. Ахать, ахивать, ахнуть, дивиться; радоваться чему, горевать, стонать, восклицать ах! Ахал бы, да дома, по себе. Ахал бы дядя, на себя глядя, заботься всяк о себе, о своем деле. Я так и ахнул, испугался, изумился. Ахивали и мы, видывали горе. Холостой подчас охнет, а женатый ахнет.

Обратная матрица

Доахаться до чего. Заахали мы, узнав об этом. Наахали, да и пошли. Наахался я на чудеса эти. Отахали, что ли? Поахайте еще. Одна ахает, другая подахивает. Почто разахался? Взахаешься поневоле. Не так ахаешь, переахай снова, насмешка над бесполезными взывами. Весь денечек проахала. Пришла баба поахать, а пришлось охнуть; пришла поглядеть на чужую радость или горе, а приключилась своя беда. Аханье ср. неумеренное изъявление радости, изумления, горя, отчаянья: ахальщик муж. ахальщица жен. ахала об. кто всему дивится, выхваляет чужое не в меру, завидует. На каждого баяльщика по семи ахальщиков. На каждого бахаря по семи ахаль. Аховой ниж. ахтительный пенз. восхитительный, неимоверно прекрасный, красивый, вызывающий восклицание изумления и одобрения. Аховой платочек. Ахва? жен. , арх.-он. дыра, прореха; пробоина, прорез в шкуре, порча ее от неосторожного выстрела, укола или удара чем. Аховня? жен. испорченная ахвою шкура, аховая или ахводная шкура. Ахвить, ахводить?, испортить шкуру выстрелом, уколом, порубом. Аховая суббота, при платежах, когда неисправные ахают по деньгам.

Лемма: Для любой матрицы А произведение ее на единичную матрицу, соответствующего размера, равно матрице А : АЕ=ЕА=А .

Матрица В называется обратной к матрице А , если АВ=ВА=Е . Обратная матрица к матрице А обозначается А -1 .

Обратная матрица существует только для квадратной матрицы.

Теорема: Квадратная матрица А имеет обратную тогда и только тогда, когда определитель этой матрицы отличен от нуля (|A|≠0).

Алгоритм нахождения обратной матрицы А -1:

(для матриц второго и третьего порядков)